В общем, есть две позиции, которые отличаются друг от друга только расположением одной пешки на линии b:

       

Известно, что одна из этих позиций - нелегальная, а вот вторая легальна полностью. Нужно определить, кто из них кто - то бишь нужно доказать нелегальность одной из позиций.
На обоих досках сейчас ход белых (то бишь только что как-то сходили чёрные). Известно, что ни одна чёрная пешка не превращалась в какую-либо из фигур.

1-ая неверна - белый чёрнопольный слон никак не мог пробраться в свою позицию - окружающие его пешки не сдвигалиись с места (иначе они бы туда не вернулись).

Проанализировав последние ходы партии я пришёл к следующему (нумерация с конца):

1ч. Чёрый конь g6 - f8 (иначе - не закрытый шах белым), съел фигуру (иначе до этого был бы не закрытый шах чёрным), причём пешку (возможно, превратившуюся на прошлом ходу в фигуру) (у белых в потерях только пешка и ладья, но ладьёй эта фигура быть не могла - незакрытый шах).
1б. Пешка e7 - f8 (больше неоткуда) съела слона (у чёрных потеряны только слон и пешки, но пешки не могли туда прийти, а в другие фигуры они не превращались).

Посмотрим на белые пешки в столбце f. Их там 2 - значит одна кого-то съела. Она могла съесть только пешку (гибель слона уже точно прослежена, а из съеденных остались только пешки).
Но там и так стоит чёрная пешка. Значит, там была вторая. Она могла появиться там только съев белую фигуру. У белых потеряно только 2 фигуры (ладья и пешка), но гибель пешки уже прослежена. Значит белая ладья появилась и была съедена в столбце f.
Посмотрим на 1-ую доску. Могла ли левая белая ладья там выйти из своего угла? Нет, всё заперто (пешки не могли уйти и вернуться). А она должна была сделать это, т. к. её съели на f (ну или другую ладью - тогда эта стоит на g - тоже должна была выйти)
Во второй же - могла(слон отошёл).
Ответ: 1-ая неверна.

Quote:съел фигуру (иначе до этого был бы не закрытый шах чёрным)

тут ведь ошибка, мог быть белый Конь на с8, а потом уйти, тем самым сделав шах черным.

1. Nc3 a6
2. Ne4 Ra7
3. Nc3 Nc6
4. Ne4 d6
5. Nc3 Bf5
6. Ne4 Qa8
7. Nc5 Kd8
8. Ne4 Kc8
9. Nc5 Kb8
10. Na4 Nd4
11. Nb6 Nb3
12. Nc8 Nxa1
13. c3 Nb3
14. Qc2 Nd4
15. Qd1 Bb1
16. e3 Nc2+
17. Ke2 Na3
18. Qe1 Be4
19. Qd1 Nb1
20. a3 Bd5
21. Qe1 Ba2
22. Nf3 d5
23. Rg1 d4
24. Nxd4 e6
25. Nxe6 g5
26. Nxg5 Bb3
27. f3 Ba2
28. g3 Bb3
29. h3 Ba2
30. Kf2 Bb3
31. Kg2 Ba2
32. Kh1 Bb3
33. Qf2 Ba2
34. Bc4 Bb3
35. Qh2 Ba2
36. Re1 Bd6
37. Kg1 Bf4
38. Qh1 Bb3
39. exf4 Ba2
40. Re8 Ne7
41. Bd5 Rg8
42. Bc4 Rg7
43. Rg8 Nd5
44. h4 Ne7
45. h5 Nd5
46. h6 Ne7
47. Ne4 Nd5
48. Ned6 Ne7
49. f5 Nd5
50. f4 Ne7
51. f6 Nd5
52. f5 Ne7
53. g4 Nd5
54. g5 Ne7
55. Bd3 Ng6
56. Bc4 Nf8
57. g6 Ne6
58. Bb3 Nf8
59. Bc4 Ne6
60. Bd5 Nf8
61. Bb3 Nxg6
62. Nb6+ Nf8+

W: F1-B5 (белый слон выходит на тропу войны)
B: E7-E6 (правая чёрная пешка делает шаг вперёд)
W: B5-D7(белый слон убивает центральную пешку и объявляет шах)
B: D8-D7(чёрный ферзь убивает наглеца-слона)

W: E2-E3(белая пешка лениво идёт вперёд)
B: D7-D8(чёрный ферзь занимает исходную позицию)
W: E3-E4(белая пешка ещё вперёд на шаг)
B: C7-C6(чёрная левая пешка делает ша вперёд)

Белые двигали только слона и пешку (ну и, может быть, двинули и вернули другую фигуру, никого не съев). Белая Пешка не ела - чёрную пешку съел белый слон.
Очевидно, чёрные должны потратить ровно два хода на перемещение двух пешек на c6 и e6 (может, одну из них и по-диагонали).
У чёрных ещё 2 хода - они могут либо (1) двинуть, съев слона (из пешек съесть слона может только средняя, но и слон может съесть только её (остальные стоят на чёрных полях, а если съесть после перехода на белое, понадобится лишний ход, чтобы восстановить ситуацию) - то есть кто-то остался бы несъеденным) и вернуть фигуру, либо (2) сходить третьей пешкой 2 хода, и после этого её (она же не может вернуться) съест слон.
1. К тому моменту, как слон сможет съесть хоть какую-то из трёх пешек (а это надо сделать перед смертью) обеим пешкам с c7 и e7 придётся двинуться вперёд (2 хода, другими пешками двинуться нельзя, а фигуры ждут разрешения съесть слона), закрыв слону доступ к третьей пешке. Таким образом, здесь за 4 хода не выйдет - придётся есть одну из пешек на c6 (e6), в резльтате чего придётся третий раз чёрным ходить пешкой (а в этом варианте так нельзя).
2. Если 2 раза ходит средняя пешка, то слона будет некому съесть (фигуры в этом случае не могут, средняя пешка должна быть им съедена, а остальные остаться на своей линии).
Если 2 раза ходит крайняя пешка (пусть c7, для другой аналогично, только c меняетя на e), то после того, как слон её съест (на c4, как минимум через 2 хода чёрных, на свой третий), у него останется не более одного хода, чтобы прийти на c6, где его должна съесть средняя пешка, при этом встав на свою финальную позицию. Но слон не может прийти туда за один ход. Значит и здесь не выходит за 4 хода.
В результате, ни в одном из вариантов игры чёрных в расчёте на 4 хода эти 4 хода не получаются.

1. e4 e6
2. Bb5 Ke7
3. Bxd7 c6
4. Be8 Kxe8

Ошибка доказательства в том, что король или фигура чёрных может двинуться, не съев слона, но тогда она должна съесть его при возвращении на исходную позицию.

1. Белым получить такую позицию за 4 хода не проблема. Нужно вычислить ходв чёрных.
2. У чёрных получить такую позицию можно двумя способами:
а) два раза двинуть пешки, и дважды сходить какой-то фигурой туда-сюда (при этом прыжок может сопровождаться пожиранием слона).
б) Четырежды сходить пешками, потеряв при этом одну, и сожрать после этого слона.
Рассмотрим первый вариант:
Как, двинув, всего дважды пешками, получить две пешки на с6 е6, кроме как тупо двинуть их вперёд, я не вижу. Значит, третья пешка на д7 должна погибнуть на месте. От слона. Как белый слон может на втором ходу убить пешку на д7 - я не вижу. Вторым ходом чёрные закрывают ему доступ к д7.
Делаю вывод, что вариант "двиг две пешки + прыг туда-сюда фигурой" нерабочий.
Второй вариант:
а) двиг двумя пешками на линию 6, и двойной двиг с последующей потерей пешкой д. Как при этом убить слона - не вижу.
б) двиг пешками С и Е, потеря одной из них и убийство слона по диагонали пешкой D. Остаётся лишний ход.

Заметим, что оба игрока двигались только пешками, конями и ладьями.

Теперь заметим, что конь всегда прыгает на клетку другого цвета, чем та, где он стоял. Значит, на клетку, отличную от своего начального цвета он придёт за нечётное число ходов, а на такую же по цвету - за чётное.

Заметим, что у всех ладей максимальная длина прямой свободной линии равна 2. Значит, за каждый ход они ходили не более, чем на 1-у клетку. Соответственно, на клетку рядом с начальной они могут попасть только за нечётное число ходов.

Смотрим на белых. Два коня на одинаковых по цвету полях - в сумме нечётное число ходов (один - чётное, другой - нечётное, они ведь изначально на разных по цвету полях стояли). У чёрных с конями то же самое.

В результате (Ч - чётное число, Н - нечётное):
Белые: Н (кони) + 2*Н (две ладьи) + 1 (пешка) = Ч
Чёрные: Н (кони) + 2*Н (две ладьи) + 2 (2 пешки) = Н

Количество ходов белых и чёрных принадлежит разной чётности, а значит различно,

Соответственно, ходят чёрные.

Последними ходили белые. Кем они могли ходить?
   
Все пешки либо стоят на начальной позиции, либо имеют кого-то за собой. Поскольку бить, а значит ходить по-диагонали, они не могли, пешкой белые не ходили.

Королю ходить было неоткуда - обе свободные клетки рядом с ним находятся под двойным шахом, причём явно не вскрытым (пешки и конь), а такой двойной шах не может получиться за 1 ход. То есть на момент начала предыдущего хода чёрных по одному шаху на эти клетки уже было, а значит на них не мог стоять король белых.

Коня белые могли двинуть только с g6. Но тогда в начале их хода конь уже ставил шах чёрному королю, т. е. чёрный король встал под шах или не вышел из-под него. А это невозможно.

Таким образом, белые никак не могли сделать предыдущий ход, а значит такая ситуация не может получиться в игре.

Как сказал Sav:
Все пешки либо стоят на начальной позиции, либо имеют кого-то за собой. Поскольку бить, а значит ходить по-диагонали, они не могли, пешкой белые не ходили.

Значит последним ходом ходили пешкой белые
пf7—f8К
Взятий фигур не было, значит у черных было только 2 варианта (белые пешки на 7 ряду стоят уже 9 ходов -> черный король давно стоит в углу):
1) Кb3—a1
Либо:
2) Сb2(c3-d4)—e5 (с любой из 3)
Белые до этого ходили королём из под шаха с какой-то из точек (Кa1, Кb2, Кc3). Любой из этих шахов явно делался не на предыдущем ходу. Значит ситуация невозможна.

(Использую результаты прошлой попытки).

Последний ход белых был превращением пешки в коня.

Как могли ходить чёрные?
Королём ходить они не могли - шах на клетку g8 стоял явно уже давно.

Если они ходили не конём, у белого короля была бы такая же ситуация как и сейчас, т. е. белые ходили последний ход не им. Пешками они ходить не могли. Ситуация невозможна.
Значит чёрные ходили конём с b3.
(*)Белые не могли ходить никак, кроме как королём с a1. a1 под шахом. Значит чёрные ходили конём d4-b3.
(**)Белый король, естественно, ходил a2-a1.Чёрные могут ходить только конём (куда - не важно).

Далее повторяются ситуац:ии * и **, пока не кончатся 10 ходов перемирия.
Значит они повторятся как минимум 3 раза.
Но это - пат. А партия не может продолжаться после него.

Значит, ситуация невозможна.

Поясните, это является троекратным повторением позиции?
1) Крb1—a1 Cc7—b6
2) Крb1—a1 Cb6—d4
3) Крa1—b1 Сd4—e5
4) Крb1—a1 Кb2—d1x
5) Крa1—b1 Кd1—c3x
6) Крb1—a1 Кc3—e2x
7) Крa1—b1 Кe2—d4
8) Крb1—a1 Кd4—b2x
9) Крa1—b1 Кb2—a1
10) f7—f8К ...

1) Крa1—b1 Cc7—b6
2) Крb1—a1 Cb6—d4
3) Крa1—b1 Сd4—e5
4) Крb1—a1 Кb2—d1x
5) Крa1—b1 Кd1—c3x
6) Крb1—a1 Кc3—e2x
7) Крa1—b1 Кe2—d4
8) Крb1—a1 Кd4—b3x
9) Крa1—b1 Кb3—a1
10) f7—f8К ...

Сb6 черные обязаны взять ладью, иначе мат. Л:g8
Жуем ферзю C:A7 Черные убирают ладью, иначе мы ее жуем и у нас проходит пешка.

Дальше партия весьма скользкая, я играю то вообще отлично, но меня все выигрывают
Считаю партию спасенной: 2 пешки кандидата в ферзи и слон, против вялой пешки и ладьи с королем.

с7 Фб5
Ла8-кра8
Фс8- [игра]